Em matemática, duas variáveis estão relacionadas quando uma mudança em uma delas causa uma mudança na outra. Uma relação é considerada proporcional quando ocorre em uma razão constante , uma razão conhecida como fator, constante ou coeficiente de proporcionalidade .

Duas variáveis têm uma relação inversamente proporcional quando um aumento em uma variável causa uma diminuição na outra ou, analogamente, uma diminuição em uma causa um aumento na outra. A relação inversamente proporcional também é conhecida como relação inversa, proporção inversa ou proporção recíproca.

Dadas duas variáveis, x e y , com uma relação inversamente proporcional, o produto de ambas é sempre constante e igual ao coeficiente de proporcionalidade:

Onde k é o coeficiente de proporcionalidade.

Isso significa que conhecendo o valor do coeficiente de proporcionalidade e o valor de uma variável, o valor da outra variável pode ser conhecido através do quociente entre o coeficiente de proporcionalidade e o valor da variável conhecida:

A notação da relação proporcional entre duas variáveis é geralmente expressa com o símbolo (não deve ser confundida com ∞, o símbolo do infinito), a relação inversamente proporcional é representada como y ∝ 1 / x .

Se x for elevado a uma potência, por exemplo ao quadrado, então y é dito ser inversamente proporcional ao quadrado de x ; Da mesma forma, podemos dizer que y é inversamente proporcional ao cubo de x se x for ao cubo ou a potência 3.

n pode ser qualquer potência. Por exemplo, 1/2 ou raiz quadrada:

A direção oposta de cada variável pode ser vista claramente em um gráfico que representa os valores de x e y . Por exemplo, se tivermos duas variáveis com relação proporcional inversa e o coeficiente de proporcionalidade for 50, ou seja, y ∝ 1 / x; k = 50, o seguinte gráfico seria obtido:

Observe como à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui.

Exemplo 1

Enunciado : y é inversamente proporcional a ax , se y = 3 ex = 12, qual é a constante de proporcionalidade?

Temos que y ∝ 1 / x, então y = k / x. Se resolvermos para, teremos que k = xy. Substituindo os valores de x e y :

k = 12 × 3 = 36

Agora que sabemos a constante de proporcionalidade, k = 36, sabendo o valor de x ou y, podemos saber o valor da outra variável.

Enunciado : tomando a relação anterior, se x = 4,5, qual é o valor de y ?

Temos que x = 4,5 ek = 36 (calculado acima), portanto:

4,5y = 36

mais tarde:

y = 36 / 4,5 = 8

Exemplo 2

Enunciado : Se v é inversamente proporcional a r 3 , quando r = 2 ev = 25. O que é r para v = 60?

Primeiro, temos que encontrar a constante de proporcionalidade inversa.

k = vr 3

k = 25 × 2 3 = 25 × 8 = 200

então k = 200

Quando v for igual a 60, teremos

200 = 60 × r 3

Então:

r 3 = 200/60 = 3,333

Resolvendo para r , obtemos que r é a raiz cúbica de 3,333, então:

r = 1.494

Relação diretamente proporcional

A relação diretamente proporcional, assim como a inversamente proporcional, é caracterizada por possuir duas variáveis ​​relacionadas por meio de um coeficiente de proporcionalidade constante. Ao contrário da proporção inversa, na proporção direta o valor de uma variável é o produto do coeficiente de proporcionalidade pelo valor da outra variável (na relação inversa era um quociente).

Ou seja, na relação diretamente proporcional:

Em vez de y = k / x, tivemos a relação inversamente proporcional. Disto se segue que o valor do coeficiente de proporcionalidade é:

  • k = y / x para a relação diretamente proporcional
  • k = yx para a relação inversamente proporcional