Os números primos têm exatamente dois divisores: eles próprios e um. Os números compostos têm três ou mais divisores.

Os números primos e os números compostos são dois tipos de números naturais . Ou seja, são números inteiros positivos que podem ser usados para contar os elementos de um determinado conjunto (1, 2, 3, 4, 5, …).

Os números primos têm apenas 1 e a si próprios como divisores, portanto, eles têm apenas 2 divisores, ao contrário dos números compostos que têm mais de 2 divisores.

A seguir vamos definir mais exatamente o que é um número primo e o que é um número composto, veremos alguns exemplos e propriedades, e aprenderemos a distinguir se um número é primo ou composto.

Definição de número primo e exemplos

Um número primo é definido como um número natural maior que 1 que não pode ser obtido como produto de dois outros números naturais, apenas como um múltiplo de si mesmo e 1.

Em outras palavras, um número primo é um número natural maior que 1 que tem apenas dois divisores : o próprio número e 1. Um número primo tem exatamente esses dois divisores, nem mais, nem menos.

Por exemplo, o número 2 é um número primo porque só é divisível por 2 (o próprio número) e por 1 e, portanto, só pode ser obtido multiplicando 2 x 1. Não há números naturais menores cujo múltiplo seja igual a dois.

Por outro lado, o número 4 não é primo, pois é divisível por 4, por 2 e por 1, e pode ser obtido multiplicando 2 × 2, além de 4 × 1.

Os números naturais que não são primos são chamados de números compostos e todos têm mais de dois divisores: o próprio número, 1, e pelo menos um outro número natural.

Os primeiros 25 números primos são todos menores que 100 e formam a sequência numérica conhecida como A000040 da OESIS ( On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ):

	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Existem infinitos números primos , algo que Euclides já demonstrou 300 anos antes de Cristo. O maior número primo conhecido, em janeiro de 2020, tinha quase 25 milhões de dígitos .

O número 1 não é considerado primo ou composto

É muito importante deixar claro que o número 1 não é considerado um número primo , pois possui apenas um divisor: ele mesmo.

Também não é considerado um número composto , uma vez que não pode ser decomposto no produto de outros números naturais, apenas como um múltiplo de si mesmo:

1 × 1 = 1

Pelas mesmas razões, o zero também não é considerado um número primo ou composto.

2 é o único número primo par

O número 2 é um número par e é um número primo , pois tem apenas dois divisores. Acima de dois, não há número par que também seja primo, pois todos são divisíveis, pelo menos por si próprios, por 2 e por 1.

Em outras palavras, todos os números primos diferentes de 2 são números ímpares .

Devido a essa característica, muitos matemáticos gregos antigos definiam os números primos como um subconjunto dos números ímpares e nem consideravam o número 2 como um número primo.

Definição de número composto e exemplos

Todos os números naturais são divisíveis, pelo menos, entre si mesmo e 1. Como vimos antes, se um número natural tem apenas esses dois divisores, é um número primo. Mas se tiver algum outro divisor, então é um número composto .

Um número composto é definido como um número natural que possui mais de dois divisores , portanto, pode ser obtido como um produto ou múltiplo de dois números naturais menores.

Por exemplo, o número 15 é um número composto. Pode ser dividido por si mesmo e por 1, e também por 3 e por 5. Portanto, tem 4 divisores: 1, 3, 5 e 15. Além disso, pode ser obtido como um produto de 3 × 5.

Outro exemplo seria o número 20, pois é divisível por 20, por 1 e também por 2, 4, 5 e 10. Pode ser obtido a partir dos produtos 2 × 10 e 5 × 4.

Diferenças mais notáveis

Como um resumo das diferenças entre os números primos e os números compostos, podemos citar os seguintes aspectos:

  • Tanto os números primos quanto os compostos são números naturais .
  • Todos os números primos e compostos são maiores que 1 , uma vez que o número 1 não é considerado primo ou composto. Nem zero.
  • Todos os números primos e compostos são divisíveis por si próprios e por 1 . Os números compostos também são divisíveis por algum outro número natural.
  • Um número primo tem exatamente dois divisores : seu próprio número e 1.
  • Um número composto sempre tem mais de dois divisores , pelo menos 3: o próprio número, 1, e pelo menos um outro número natural.
  • Um número primo só pode ser expresso como o produto de si mesmo multiplicado por 1 .
  • Um número composto pode ser expresso como um produto de si mesmo por 1, e pelo menos como um produto de outro número natural menor .
  • O número 2 é o único número primo que também é um número par . Todos os outros números primos são ímpares.
  • Entre os números compostos existem pares e ímpares.
  • Existem infinitos números primos e infinitos números compostos.

Como saber se um número é primo ou composto

Não existe uma fórmula, ou pelo menos não é conhecida, com a qual você possa descobrir se um número é primo ou composto , então várias técnicas são usadas.

Uma das mais utilizadas é uma prova dissertativa que consiste em começar a dividir o número n por 2, 3, etc. , até que uma das divisões seja exata ou até que o quociente seja menor que o divisor .

Se qualquer divisão for exata, é um número composto; caso contrário, é um número primo.

Em vez de fazer todas as divisões de 2, isso pode ser feito apenas entre os números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, …). O resultado será o mesmo.

Essa técnica é muito lenta e tediosa e , quanto maior for o número, mais lento será para determinar se um número é primo ou composto.

Existem muitos algoritmos muito mais rápidos, como o teste de primalidade Miller-Rabin, que é rápido, mas pode fornecer erros, ou o teste de primalidade AKS, que não tem erros, mas ainda é muito lento.

Exemplo: 115 é primo?

Começamos dividindo 115 por 2, 3,….

  • 115/2 = 57,5
  • 115/3 = 38,33
  • 115/5 = 23 → Divisão exata.

Aqui paramos, porque a divisão por 5 é uma divisão exata. Ou seja, 115 é divisível por 5, então 115 é um número composto .

Exemplo: 127 é primo?

  • 127/2 = 63,5
  • 127/3 = 42,33
  • 127/5 = 25,4
  • 127/7 = 18,14
  • 127/11 = 11,54
  • 127/13 = 9,76 → o quociente (9,76) é menor que o divisor (13)

Aqui paramos. Todas as divisões são imprecisas, então 127 é um número primo .